Conjuntos Numéricos – Parte I

Olá. Nesse post, irei falar sobre os principais conjuntos numéricos na matemática.

Números Naturais

Começarei pelo conjunto dos números naturais, representados por $\mathbb{N}$

$\mathbb{N}= \left \{ 0, 1, 2, 3, ... \right \}$

O conjunto dos números naturais é o conjunto que contém o 0, seu sucessor (1), o sucessor de seu sucessor (2), e assim por diante.
São os primeiros números que nós aprendemos, ainda quando crianças. Usamos-os para contar.

Existe um subconjunto importante de $\mathbb{N}$ , que é o $\mathbb{N}^*$
$\mathbb{N}^*= \left \{ 1, 2, 3, ... \right \}$

$\mathbb{N}^*$ é definido como $\mathbb{N}^*=\mathbb{N}-\left \{ 0 \right \}$ , ou seja, simplesmente ele é o conjunto dos números naturais sem o 0

Números Inteiros

Continuando, podemos expandir o conjunto dos números naturais com os seus opostos (termo que já irei explicar), formando os números inteiros, representados por $\mathbb{Z}$ .
$\mathbb{Z}=\left \{ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \right \}$

Visivelmente, percebe-se que esse é o conjunto dos números inteiros positivos, negativos e do 0.
Eu disse algo sobre ‘opostos’. O que é o oposto de um número?
O oposto de um número, digamos, $a$ , é o número que somado com $a$ resulta em 0. O oposto de $a$ é representado por (-a).
Então, temos que:
$a + (-a) = 0$
Exemplificando:
O oposto de 3, é (-3), e quando somados, resultam em 0: 3 + (-3) = 0
O oposto de 10, é (-10), e quando somados, resultam em 0: 10 + (-10) = 0
E assim por diante.

Assim como nos números naturais, existe o conjunto $\mathbb{Z}^*$ , definido como $ é definido como $\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}-\left \{ 0 \right \}$ , ou seja, é o conjunto dos números inteiros, exluindo-se o zero.

O próximo conjunto é o conjunto dos números racionais.

Números Racionais

$\mathbb{Q}=\left \{\frac{a}{b}: a\in \mathbb{Z} \text{ e } b \in \mathbb{Z}^*\right \}$

Interpretando e ‘traduzindo’ isso, obteremos algo assim:

“O conjunto dos números racionais é todo número que pode ser escrito na forma a/b, com a inteiro e b inteiro diferente de 0. Ou seja: qualquer número que possa ser escrito como frações de números inteiros.

2/4 é racional pois é uma fração de números inteiros.
3/5 é racional pois é uma fração de números inteiros.
0,2/0,5 é racional, pois pode ser escrito como uma fração de números inteiros (2/5).
Dízimas periódicas, como 0,222… são números racionais pois podem ser escritas como frações de números inteiros (2/9)

A palavra “racionais” vem de “razão”, que na matemática tem sentido de “divisão”.

Aparentemente, todos os números imagináveis são racionais, certo? Errado! Pode parecer difícil de acreditar, mas há números que não podem ser escritos nessa forma. Aí que entra o conjunto dos números irracionais, expressos por $\mathbb{I}$ .

Números Irracionais e Reais

O que é o conjunto dos números irracionais? O conjunto dos números irracionais é o conjunto dos números reais que não são racionais.

-Ei, espera, como assim? Você está definindo números irracionais usando números reais sem nem dizer o que são números reais?

Mais ou menos. De fato, o “correto” é definir o que é um número real primeiro, mas isso não é lá muito didático.

Exemplos de números irracionais são raízes não exatas, como:

$\sqrt{2}$ (raiz quadrada positiva de dois, ou seja, o número positivo que elevado ao quadrdo resulta em 2),
$-\sqrt{3}$ (raiz quadrada negativa de três, ou seja, o número negativo que elevado ao quadrdo resulta em 3),
$\sqrt[3]{6}$ (raiz cúbica de seis, ou seja, o número que elevado ao cubo resulta em 6),
$\pi$ (pi, que é a razao entre o comprimento da circunferência e do diâmetro de uma circunferência qualquer),
$e$ (número de Euler)

etc. Nenhum desses números podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0, portanto nenhum deles é racional. Mas eles são números reais.

…e o que são números reais?

O conjunto dos números reais, representado por $\mathbb{R}$ é um conjunto bem ordenado. Dentre as suas propriedades, há uma que diz que se você pegar quaisquer dois deles, distintos, por exemplo, $a$ e $b$ , então com certeza…

ou $a$ é maior que $b$ , ou $b$ é maior que $a$ .

Um deles deve necessáriamente ser maior. Algo que satisfaça essa condição é um número real.

Todo número racional tem essas propriedades dos números reais. Será que há outro tipo de número que também tem? Sim! Se você pegar $\sqrt{2}$ , por exemplo, e tentar compara-lo com qualquer outro número real, de fato, você perceberá que ou $\sqrt{2}$ é maior, ou $\sqrt{2}$ é menor. Isso faz de $\sqrt{2}$ um número real.

Se você colocasse todos os números reais em papeizinhos dentro de um balde (o que na verdade é impossível, já que eles são infinitos) e sorteasse dois ao acaso, você poderia afirmar com certeza que um é maior que o outro.

Agora podemos definir os números irracionais!

$\mathbb{I}=\mathbb{R} - \mathbb{Q}$

Ou seja, o conjunto dos números irracionais é o conjunto dos números reais, retirando-se os números racionais.

Uma propriedade interessante dos números reais é que eles podem ser colocados em uma reta. No próximo post dessa série, abordarei isso, e introduzirei também os números complexos.

Abraços e até a próxima.

Vinicius R.