Código de Hamurabi

Acredito que a maioria das pessoas já tenha ouvido falar no tal “Código de Hamurabi”, na “lei de talião”, no “olho por olho, dente por dente”, e até conhecem alguns de seus princípios. Ele é mencionado em todo livro e toda aula sobre antiguidade, e é tão famoso por ter sido o primeiro código de leis e punições criado pela humanidade (ao menos dos que se conhecem atualmente). Mas de que punições ele trata? Nesse artigo posto algumas delas, muito curiosas, até bizarras, algumas extremamente rígidas. Certas punições podem nos parecer, ironicamente, injustas, e outras até mais justas do que as que conhecemos hoje, mas lembremos que a cultura daquele povo era muito diferente da nossa, e por isso não devemos avaliar suas leis baseados na sociedade em que vivemos.

Estela (monumento de pedra) na qual foi escrito o Código de Hamurabi, em três alfabetos diferentes. Foi encontrada em 1901.

Hamurabi foi um dos reis dos babilônicos, um dos povos que habitou a Mesopotâmia (atual Iraque), durante a Antiguidade. Ele, obviamente, foi quem criou o código de que estamos falando. Um dos princípios que utilizou foi a lei, ou a pena, de talião. O termo “talião” refere-se à recriprocidade, ou seja, à “retaliação” de um crime: se roubou, será roubado, se matou, será morto, e assim por diante. É o princípio do chamado “olho por olho, dente por dente”. Porém, não devemos interpretá-lo literalmente. O que o código define são castigos específicos para crimes específicos, não sendo os dois necessariamente iguais. O Código de Hamurabi foi escrito há mais de 3 mil anos.

Mesopotâmia e a região do Crescente Fértil (área de terras férteis devido às periódicas cheias dos rios)

Selecionei abaixo algumas das leis que achei interessantes:

  • Se alguém acusa um outro, lhe imputa um sortilégio, mas não pode dar a prova disso, aquele que acusou deverá ser morto.
  • Se alguém em um processo se apresenta como testemunha de acusação e, não prova o que disse, se o processo importa perda de vida, ele deverá ser morto.
  • Se alguém furta bens do Deus ou da Corte deverá ser morto; e mais quem recebeu dele a coisa furtada também deverá ser morto.
  • Se alguém rouba o filho impúbere de outro, ele é morto.
  • Se alguém apreende em campo aberto um escravo ou uma escrava fugidos e os reconduz ao dono, o dono do escravo deverá dar-lhe dois siclos.
  • Se ele retém esse escravo em sua casa e em seguida se descobre o escravo com ele, deverá ser morto.
  • Se o escravo foge àquele que o apreendeu, este deve jurar em nome de Deus ao dono do escravo e ir livre.
  • Se alguém faz um buraco em uma casa, deverá diante daquele buraco ser morto e sepultado.
  • Se alguém comete roubo e é preso, ele é morto.
  • Se um oficial superior foge ao serviço e coloca um mercenário em seu lugar no serviço do rei e ele parte, aquele oficial deverá ser morto.
  • O campo, o horto e a casa de um oficial, gregário ou vassalo não podem ser vendidos.
  • Se alguém tomou um campo para cultivar e no campo não fez crescer trigo, ele deverá ser convencido que fez trabalhos no campo e deverá fornecer ao proprietário do campo quanto trigo exista no do vizinho.
  • Se ele não cultiva o campo e o deixa em abandono, deverá dar ao proprietário do campo quanto trigo haja no campo vizinho e deverá cavar e destorroar o campo, que ele deixou ficar inculto e restituí-lo ao proprietário.
  • Se alguém abre o seu reservatório d’água para irrigar, mas é negligente e a água inunda o campo de seu vizinho, ele deverá restituir o trigo conforme o produzido pelo vizinho.
  • Se uma taberneira não aceita trigo por preço das bebidas a peso, mas toma dinheiro e o preço da bebida é menor do que o do trigo, deverá ser convencida disto e lançada nágua.
  • Se uma irmã de Deus, que não habita com as crianças (mulher consagrada que não se pode casar) abre uma taberna ou entra em uma taberna para beber, esta mulher deverá ser queimada.
  • Se na casa de uma taberneira se reúnem conjurados e esses conjurados não são detidos e levados à Corte, a taberneira deverá ser morta.
  • Se alguém está em viagem e confia a um outro prata, ouro, pedras preciosas ou outros bens móveis e os faz transportar por ele e este não conduz ao lugar do destino tudo que deve transportar, mas se apropria deles, dever-se-á convencer esse homem que ele não entregou o que devia transportar e ele deverá dar ao proprietário da expedição cinco vezes o que recebeu.
  • Se alguém difama uma mulher consagrada ou a mulher de um homem livre e não pode provar se deverá arrastar esse homem perante o juiz e tosquiar-lhe a fronte.
  • Se alguém toma uma mulher, mas não conclui um contrato com ela, esta mulher não é esposa.
  • Se a esposa de alguém é encontrada em contato sexual com um outro, se deverá amarrá-los e lança-los nágua, salvo se o marido perdoar à sua mulher e o rei a seu escravo.
  • Se a mulher de um homem livre é acusada pelo próprio marido, mas não surpreendida em contato com outro, ela deverá jurar em nome de Deus e voltar à sua casa.
  • Se contra a mulher de um homem livre é proferida difamação por causa de um outro homem, mas não é ela encontrada em contato com outro, ela deverá saltar no rio por seu marido.
  • Se alguém abandona a pátria e foge e depois a mulher vai a outra casa, se aquele regressa e quer retomar a mulher, porque ele se separou da pátria e fugiu, a mulher do fugitivo não deverá voltar ao marido.
  • Se um filho espanca seu pai se lhe deverão decepar as mãos.
  • Se alguém bate um outro em rixa e lhe faz uma ferida, ele deverá jurar : “eu não o bati de propósito”, e pagar o médico.
  • Se ele arranca o olho de um liberto, deverá pagar uma mina.
  • Se ele arranca um olho de um escravo alheio, ou quebra um osso ao escravo alheio, deverá pagar a metade de seu preço.
  • Se um médico restabelece o osso quebrado de alguém ou as partes moles doentes, o doente deverá dar ao médico cinco siclos.
  • Se é um liberto, deverá dar três siclos.
  • Se é um escravo, o dono deverá dar ao médico dois siclos.
  • Se um arquiteto constrói para alguém e não o faz solidamente e a casa que ele construiu cai e fere de morte o proprietário, esse arquiteto deverá ser morto.
  • Se fere de morte o filho do proprietário, deverá ser morto o filho do arquiteto.

E nas seguintes pode-se perceber claramente a lei de talião:

  • Se alguém arranca o olho a um outro, se lhe deverá arrancar o olho.
  • Se ele quebra o osso a um outro, se lhe deverá quebrar o osso.
  • Se alguém parte os dentes de um outro, de igual condição, deverá ter partidos os seus dentes.
  • Se alguém espanca um outro mais elevado que ele, deverá ser espancado em público sessenta vezes, com o chicote de couro de boi.
  • Se o escravo de um homem livre espanca um homem livre, se lhe deverá cortar a orelha.
  • Se alguém bate numa mulher livre e a faz abortar, deverá pagar dez siclos pelo feto.
  • Se essa mulher morre, se deverá matar o filho dele.

Fonte:

http://www.cpihts.com/PDF/C%C3%B3digo%20hamurabi.pdf: link com o Código de Hamurabi completo

Física no Cotidiano 2 – Dilatação térmica

Para esse post, o segundo da série “Física no Cotidiano” [veja o primeiro aqui], vou me basear em algo que me aconteceu recentemente:

Semana passada estive de férias e fui visitar minha avó. Encontrei-a com um pequeno problema: a tampa de uma panela havia entrado em uma bacia de metal e ficado presa, e ela não conseguia de jeito nenhum tirar a tampa de lá. Para resolver isso, coloquei o sistema em questão no congelador e, depois de algumas horas, joguei água fervente ao redor da bacia. Imediatamente a tampa se soltou. Por que será que isso aconteceu?

A explicação para isso está no fenômeno da dilatação térmica.

Sabemos que ao fornecermos calor para um corpo, sua temperatura aumenta. Bom, esse aumento na temperatura aumenta a energia interna do corpo, que ocasiona uma maior vibração das partículas que o compõem. Vibrando mais, essas partículas precisarão de mais espaço, fazendo com que o corpo se expanda.

O oposto acontece ao retirarmos calor de um corpo: sua temperatura diminui, sua energia interna diminui, a vibração de suas partículas diminui, e o corpo sofre uma contração.

A dilatação térmica, obviamente, depende de alguns fatores. São eles:

  • O tamanho inicial do objeto. Um exemplo para entender por que: duas barras de metal, uma com 10 metros e outra com 10 centímetros de comprimento, inicialmente à mesma temperatura, recebem a mesma quantidade de calor; se verificarmos que a barra de 10 metros passa a medir 11 metros, não podemos afirmar que a barra de 10 centímetros também aumentará em 1 metro seu comprimento. Isso porque o aumento é proporcional ao tamanho: quanto menor um corpo, menor será sua dilatação.
  • A variação de temperatura que o corpo sofre. Quanto mais sua temperatura varia, maior será sua dilatação.
  • O coeficiente de dilatação térmica do corpo. Materiais diferentes sofrem dilatação diferentemente. Isso se deve à estrutura molecular do corpo. Quanto maior é esse coeficiente, maior será a dilatação do corpo.

É no coeficiente de dilatação térmica que vou me deter agora. Na situação que descrevi no começo do post, tanto a bacia quanto a tampa eram de metal. Não sei qual metal, mas isso significa que seus coeficientes de dilatação térmica eram muito próximos. A diferença de tamanho entre os dois também não era relevante. Sabendo disso, pude concluir que, se eu aquecesse o sistema todo, tanto a bacia quanto a tampa se expandiriam semelhantemente, e não seria criada uma folga entre os dois. Por isso, deduzi que seria necessário esquentar somente a bacia, para que ela aumentasse de tamanho, e esfriar a tampa, para que diminuísse de tamanho, e aí sim seria criada a folga necessária para que se soltassem. E foi o que aconteceu.

O conhecimento desse fenômeno pode ser muito útil em situações como essa. Sabe aquele vidro de pepino que você fecha, guarda na geladeira, e depois não consegue mais abrir? É só esquentar a tampa e está resolvido! O coeficiente de dilatação da tampa, que é de metal, é maior que o do frasco, que é de vidro; por isso, quando ambos são resfriados (na geladeira), a tampa fica muito apertada no vidro porque se contrai mais que ele. Quando são aquecidos, acontece o oposto, ficando mais fácil separá-los.

O fenômeno da dilatação térmica ocorre o tempo todo ao nosso redor, mas na maioria das vezes é imperceptível aos nossos olhos, ou estamos muito desatentos para reparar nele. Se prestarmos atenção, podemos notar, por exemplo, que os fios de luz ficam mais esticados no inverno e mais “soltos” no verão.

A esfera passava pelo anel, mas foi aquecida e aumentou de tamanho.

Esse fenômeno é levado em conta em qualquer processo de fabricação, e um pequeno erro de cálculo pode ter graves conseqüências. Imagine só um carro com parafusos que têm coeficientes de dilatação térmica muito diferentes do que as placas onde são encaixados!

É por causa da dilatação térmica também que blocos de concreto nas calçadas e em pontes têm um espaçamento entre si, assim como as barras de metal nos trilhos de trem.

Outro fato interessante é que a dilatação dos líquidos é imensamente maior que a dos sólidos. Quem entendeu o que eu disse até agora vai saber por que é mais lógico abastecer o carro à noite! Hehe =]

Espero que tenham gostado, fiquem à vontade para comentar e fazer perguntas.

Giulia R.

Introdução à espectroscopia

Autor: Gravilo, do blog Númerofilia

O que é espectroscopia?

Sabemos que a luz é uma onda eletromagnética, ou seja, uma onda que se propaga no vácuo. O que chamamos de espectro nada mais é do que a intensidade da luz em diferentes comprimentos de onda, e a espectroscopia estuda justamente isso. Em 1856, Kirchhoff e Bunsen realizaram um experimento vital para o desenvolvimento da espectroscopia, então vamos tentar entendê-lo.

Aproveitando o bico de Bunsen, que emitia chama incolor, os cientistas puderam observar a cor de cada elemento. Já realizou o chamado teste da chama, no qual você joga um determinado sal na chama do bico de Bunsen e verifica a coloração resultante? Pois então, Kirchhoff foi além e sugeriu que as cores passassem através de um prisma, decompondo-se (veremos a seguir com mais detalhes). Também foi posicionado um conjunto de lentes em frente ao prisma.

Ilustração esquemática do primeiro espectroscópio de Kirchhoff

A aparelhagem acima recebeu o nome de espectroscópio, ou espectrômetro, e através dela pode-se identificar as linhas refletidas pelo prisma com os elementos químicos. Assim, cada elemento gerava uma série de linhas diferentes: o sódio tinha linhas no amarelo, neônio no vermelho etc. Interessante, não? Agora já era possível identificar um elemento através do espectroscópio, mas para que tudo isso serve?

Para que serve a espectroscopia?

Hoje em dia muito do que sabemos sobre estrelas é proveniente da análise do espectro de cada uma delas, sem precisarmos ir até elas e fazer as medidas diretamente. De fato, Kirchhoff logo viu o potencial da espectroscopia e decidiu utilizar o espectroscópio para estudar a luz do Sol. Com isso, viu que o Sol era um gás ou sólido quente e descobriu linhas de magnésio, cálcio, crômio, cobalto, zinco, bário e níquel.

Em 1868, o astrônomo Sir Joseph Norman Lockyer utilizou a técnica para descobrir um novo elemento químico: o hélio. A espectroscopia também teve um papel muito importante no desenvolvimento da mecânica quântica, incluindo a explicação de Niels Bohr à estrutura atômica. De acordo com Bohr, elétrons permanecem em órbitas bem definidas e, quando excitados, emitem ou absorvem energia para transitar entre elas.

Quando aquecemos um elemento, fornecemos energia em forma de calor absorvida pelos elétrons, fazendo com que os elétrons saltem a uma outra órbita. Quando retornam à órbita original, eles emitem a energia recebida em forma de radiação seguindo um comprimento de onda específico. Justamente por isso cada elemento gera uma série de linhas diferentes.

Como funciona um espectroscópio ou espectrômetro?

Primeiro precisamos conhecer o processo de decomposição por redes de difração; nelas, há um suporte transparente ou refletor com linhas muito finas. Quando a luz incide sobre o conjunto, cada cor se dispersa em todas as direções (por isso o nome redes de difração), e depois as cores iguais — ou seja, comprimentos de ondas semelhantes — sofrem interferência construtiva e se reforçam segundo as direções determinadas pelo feixe de luz. Em outras direções, sofrem interferência destrutiva.

Se estiver boiando, dê uma olhada nesta página sobre Ondulatória. Enfim, o resultado disso tudo é parecido com o que obteríamos através de um prisma, mas com maior eficiência. Essa é a vantagem do espectroscópio em relação aos métodos usados até então. Ah, e o tal “suporte transparente ou refletor com linhas muito finas”? Ora, um CD serve. Por que não observamos como as coisas são na prática?

Construa seu próprio espectroscópio ou espectrômetro

É possível construir seu próprio espectroscópio simples sem complicação e observar os mais diversos espectros na natureza. Nesta página do Feira de Ciências há uma montagem muito prática utilizando apenas uma caixa de fósforos grande e um CD inutilizado. Se quiser algo mais “profissional” para apresentar aos amigos, o ideal é usar um tubo (de papel higiênico por exemplo), pedaços quadrados de papel negro e uma lâmina de barbear. Veja como fazê-lo neste link.

Montagem de um espectroscópio caseiro, exibindo os lados difrator (esquerda) e captador (direita) de luz

Na montagem acima, retirada do blog FisicoMaluco, temos na esquerda uma visão da parte difratora e na direita da parte que captura a luz. A captação é realizada pela lâmina do gilete, garantindo que os raios de luz se dirijam ao pedaço de CD; este realiza o processo de difração propriamente dito e decompõe a luz. Agora você já pode bancar o Kirchhoff e analisar a luz do sol, por exemplo!

Fontes:

Espectroscópio: fundamentos e construção

Como fazer seu próprio espectrômetro e se divertir decompondo cores

Espectroscopia

Spectroscopy

Teste da chama

Um breve histórico das teorias sobre a origem da vida – Biogênese (parte 2/2)

Aleksandr Oparin

No post anterior, falei sobre a abiogênese e sobre como ela foi derrubada por Louis Pasteur. Neste, falarei sobre os principais experimentos realizados para se tentar descobrir como surgiu a primeira forma de vida, e sobre a teoria aceita atualmente dentro da comunidade científica.

Após a abiogênese ter sido derrubada definitivamente por Louis Pasteur, em 1882, o próximo passo significativo foi dado por Aleksandr Oparin, um cientista russo (como o nome sugere). Em 1924, Oparin formulou a seguinte hipótese:

As primeiras moléculas orgânicas teriam sido produzidas a partir dos gases que compunham a atmosfera primitiva. São eles: metano, amônia, hidrogênio, e vapor d’água. Esses gases teriam sido expostos a descargas elétricas durante as violentas tempestades que ocorriam na Terra há cerca de 3,8 bilhões de anos e à radiação ultravioleta emitida pelo Sol.

A partir dessa hipótese, em 1938 Oparin propôs sua teoria, a chamada “Teoria da Coacervação”. Ela afirmava que as moléculas que haviam sido produzidas na situação descrita anteriormente haviam se transformado em substâncias mais complexas e variadas. Dessa forma, teriam surgidos os compostos essenciais à vida: aminoácidos, ácidos graxos, açúcares e ácidos nucléicos. A reunião desses compostos constituiu os sistemas coloidais, formados por moléculas, e os coacervados, aglomerados proteicos (daí o nome de sua teoria), que teriam sido os precursores das formas de vida mais simples.

Em 1953, o norte-americano Stanley Miller (é, do famoso experimento de Miller), construiu um aparelho capaz de submeter os gases da atmosfera primitiva (os que eu citei anteriormente: metano, amônia, hidrogênio e vapor d’água) a descargas elétricas, dessa forma testando a hipótese de Oparin. Das reações ocorridas entre os gases surgiram compostos orgânicos, entre eles os aminoácidos, que são os formadores das proteínas.

Stanley Miller e seu experimento

Sidney Fox, bioquímico norte-americano, em 1957, conseguiu sintetizar proteínas ao aquecer aminoácidos a seco. Ainda na mesma década, um colega seu, chamado Melvin Calvin, submeteu os mesmos gases que compunham a atmosfera primitiva a radiações ultravioleta. Miller havia provado verdadeira a hipótese de Oparin quanto às descargas elétricas, faltava experimentá-la quanto às radiações UV. Como resultado, Calvin observou a formação da glicose, molécula que pode fornecer energia às reações biológicas.

Sidney Fox

De acordo com as evidências coletadas e testadas por esses cientistas e outros depois deles, formulou-se a chamada Hipótese Heterotrófica para o surgimento da vida na Terra. Abaixo descrevo em sequência como provavelmente a vida surgiu no nosso planeta:

  1. Os gases presentes na atmosfera primitiva – hidrogênio, vapor d’água, amônia e metano –, foram submetidos às descargas elétricas provenientes das tempestades que ocorriam na Terra, e à intensa radiação ultravioleta proveniente do sol (ainda não existia a proteção da camada de ozônio)
  2. Nos oceanos primitivos, formaram-se os compostos essenciais à vida: aminoácidos, açúcares, ácidos nucléicos e ácidos graxos
  3. Esses compostos, dentro dos oceanos primitivos, formaram os primeiros agregados de moléculas, denominados “coacervados”
  4. Os coacervados, ao interagirem entre si e com o ambiente, evoluíram para formas mais complexas: agregados com membrana, que podem ser considerados os primeiros seres vivos, uma forma de vida primitiva
  5. Os agregados com membrana evoluíram até formarem as células primitivas. Como na atmosfera primitiva ainda não existia gás carbônico, os primeiros seres vivos não seriam capazes de produzir seu próprio alimento através da fotossíntese. Portanto, esses seres vivos eram “heterótrofos” (que não produzem seu próprio alimento). Também não existia gás oxigênio, portanto eles eram “anaeróbios” (que não respiram oxigênio)
  6. Os heterótrofos anaeróbicos, por serem fermentadores, liberaram gás carbônico na atmosfera primitiva
  7. Com a formação do gás carbônico, surgiram condições para que surgissem os seres autótrofos fotossintetizantes.
  8. Como resultado da reação de fotossíntese, os primeiros autótrofos liberaram gás oxigênio na atmosfera primitiva
  9. O gás oxigênio permitiu o surgimento dos primeiros seres heterótrofos aeróbios (que respiram oxigênio), ainda unicelulares
  10. Os seres unicelulares foram se tornando cada vez mais complexos, até formarem os pluricelulares, que após milhões de anos conquistaram o ambiente terrestre

Observações:

  • Existem hipóteses que afirmam que os primeiros seres vivos eram autótrofos, e não heterótrofos. Achei conveniente tratar apenas da hipótese heterotrófica, por ser a mais aceita atualmente na comunidade científica.
  • Existem divergências entre diversos autores e pesquisadores sobre essa hipótese. Constantemente são feitos novos estudos e deduções e, por ser ainda uma hipótese, não há ainda uma descrição definitiva sobre o que levou à origem da vida.
  • Os mecanismos que tornaram possível o surgimento de espécies mais complexas, como o Homo sapiens sapiens (espécie humana) serão tratados futuramente em um artigo sobre o Evolucionismo.

Até a próxima,

Giulia R.

Curiosidade:

  • Melvin Calvin foi quem identificou o papel do carbono na reação de fotossíntese, descobrindo o chamado “ciclo de Calvin”, juntamente com Andrew Benson e James Bassham, motivo pelo qual recebeu o prêmio Nobel de Química, em 1961.

Melvin Calvin

Por que raiz de dois não é racional?

Como André disse no post Os pitagóricos e os números irracionais, Hipaso foi morto por revelar que \sqrt{2} não é um número racional. Isso é um motivo estúpido para nossos ouvidos do século XXI, mas os motivos de seu assassinato foram religiosos. Os pitagóricos louvavam Pitágoras como “Filho de Apolo”, e a revelação de que nem todo número é racional foi considerada como um “atentado contra a fé”.

Deixando as crenças de lado, afinal, como podemos saber que \sqrt{2} não é racional?

Um número racional, como já expliquei em Conjuntos Numéricos – Parte I, é um número que pode ser escrito na forma \frac{a}{b}, sendo a um número inteiro e b um número inteiro diferente de zero.

Nesse post, irei provar que \sqrt{2}, ou seja, o número que multiplicado por si mesmo resulta em 2, não é um número racional. Mas antes temos que provar outra coisa:

“O quadrado de um número ímpar sempre é um número ímpar”.

Lembrando que: Um número par é um inteiro que é divisível por 2, ou seja, se um número, digamos, n, for dividido por 2, ele resultará em outro número inteiro, digamos, m. Assim:

\frac{n}{2}=m

Também podemos escrever assim:

n=2m

Já um número ímpar é um número inteiro que não é divisível por 2, ou seja, que tem resto diferente de 0. Como estamos dividindo por 2, o único resto que pode dar é 1. ex: 5/2 dá 2, e resto 1.

Um número ímpar pode ser escrito na forma n=2m+1

Agora, vamos provar o que falei.

-Se n for ímpar, seu quadrado é ímpar.

n=2m+1, sendo m inteiro, pois n é ímpar.

\left(2m+1\right)^2=4m^2+2m+1

Podemos fatorar parcialmente, deixando assim:

\left(2m+1\right)^2=2\left(2m^2+m\right)+1

\left(2m^2+m\right) é um número inteiro, e irei chamá-lo, digamos… de z!

\left(2m+1\right)^2=2z+1

2m+1=n, então

n^2=2z+1

2z+1 tem a forma de um número ímpar, então n² é ímpar. Portanto, o quadrado de um número ímpar sempre é ímpar!

Agora vamos provar o dito cujo.

Vamos supor que \sqrt{2} seja mesmo racional. Então, \sqrt{2}=\frac{a}{b}

Suponhamos que essa fração esteja simplificada ao máximo, de modo que não seja possível simplificar mais.

Então, a e b não podem ser pares ao mesmo tempo, pois se ambos forem pares, daria pra simplificar por dois.

Seja então:

\sqrt{2}=\frac{a}{b}

Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos:

2=\frac{a^2}{b^2}

E então:

2b^2=a^2

Disso, tiramos que a^2 é par. Daí, tiramos também que a é par. Pois se a fosse ímpar, a^2 seria impar. Então, a é par.

Então b não pode ser par.

Como a é par, pode ser escrito na forma a=2n, sendo n um inteiro.

Substituirei então:

2b^2=\left(2n\right)^2

2b^2=4n^2

Didivindo os dois lados por 2:

b^2=2n^2

Agora, pelos mesmos motivos anteriores, tiramos que b também é par.

Então:

  • b é par
  • a é par
  • a e b não podem ser, ao mesmo tempo, pares

Uma contradição! Portanto, temos que assumir que a nossa hipótese é errada:

\sqrt{2} não pode ser escrito como a razão entre dois números inteiros. \sqrt{2} não é racional!

Só peço que não informem Pitágoras que eu estou revelando isso… não quero acabar como Hipaso, ahaha!

Para quem se interessar, outras abordagens e mais sobre esse assunto podem ser encontradas no Blog Manthano, nosso parceiro!

Abraços, e espero que tenham gostado.

Vinicius R.

O testamento de Alfred Nobel

Um ano antes de sua morte, Alfred Nobel fez seu testamento, no qual destinava parte de seu patrimônio para a premiação de grandes iniciativas que beneficiassem a humanidade. Disponibilizamos a seguir o trecho do testamento que deu origem ao famoso Prêmio Nobel:

“Todo o restante do meu patrimônio deverá ser tratado da seguinte maneira: o capital, investido em títulos seguros pelos meus executores, deverá constituir um fundo, do qual a renda deverá ser distribuída anualmente sob a forma de prêmios para aqueles que, durante o ano precedente, concederam o maior benefício para a humanidade. A dita renda deverá ser dividida em cinco partes iguais, as quais deverão ser distribuídas como se segue:

 – uma parte para a pessoa que fez a mais importante descoberta ou invenção no campo da física;

– uma parte para a pessoa que fez a mais importante descoberta ou aprimoramento na química;

– uma parte para a pessoa que fez a mais importante descoberta no domínio da fisiologia ou da medicina;

– uma parte para a pessoa que produziu no campo da literatura o trabalho mais impressionante em uma direção idealista;

– e uma parte para a pessoa que fez o melhor trabalho pela fraternidade entre as nações, pela abolição ou redução de exércitos permanentes e pela conservação e promoção de congressos de paz.

 Os prêmios de física e química deverão ser entregues pela Academia Sueca de Ciências; o de trabalho fisiológico ou médico pelo Instituto Caroline em Estocolmo; o de literatura pela Academia em Estocolmo; e o dos campeões da paz por um comitê de cinco pessoas que deverão ser eleitas pelo Storting da Noruega. É meu expresso desejo que na entrega dos prêmios não seja feita nenhuma consideração à nacionalidade dos candidatos, mas que o mais valioso receba o prêmio, seja ele escandinavo ou não.”

Testamento de Alfred Nobel

Alguns famosos ganhadores do prêmio Nobel:

  • O casal Curie, junto com Becquerel, recebeu o Nobel de física em 1904 por seus trabalhos sobre a relatividade; Marie Curie recebeu o Nobel de química em 1911 pela descoberta dos elementos rádio e polônio
  • Max Planck recebeu o Nobel de física em 1918 pela descoberta do quantum de energia e consequente surgimento da Física Quântica
  • Albert Einstein recebeu o prêmio Nobel de física em 1921 pela explicação do efeito fotoelétrico
  • Bertrand Russell recebeu o Nobel de literatura em 1950 pelos seus escritos, nos quais lutou por “ideais humanitários” e pela “liberdade de pensamento”
  • Linus Pauling recebeu o Nobel de química em 1954 por seus trabalhos sobre as ligações químicas, e o Nobel da paz em 1962 por sua campanha contra testes nucleares. É a única personalidade que já recebeu dois prêmios Nobel não compartilhados
  • Frederick Sanger recebeu duas vezes o Nobel de química. Em 1958, por ter determinado a estrutura molecular da insulina;e  em 1980, por estudos sobre o DNA
  • Francis Crick, James Watson e Maurice Wilkins receberam o Nobel de medicina/fisiologia em 1962 pela  autoria do modelo de “dupla hélice” para a molécula de DNA.
  • Mikhail Gorbachev recebeu o Nobel da paz em 1990 pelo fim da Guerra Fria
  • Yasser Arafat, Shimon Peres e Ytzhak Rabin recebem o Nobel da paz em 1994 pelos Acordos de Paz de Oslo
  • José Saramago recebeu o Nobel de literatura em 1998
  • A organização Médicos sem Fronteiras recebeu o Nobel da paz em 1999 pela defesa à ingerência humanitária
  • Alguns famosos ganhadores do Nobel de literatura: Ernest Hemingway, Winston Churchill, Hermann Hesse, Albert Camus, John Steinbeck, Jean-Paul Sarte, Pablo Neruda, Gabriel Garcia Márquez, Mario Vargas Llosa

Observações:

  • O chamado “Nobel de Economia” não foi criado por Alfred Nobel nem tem relação alguma com a Fundação Nobel

André L, Giulia R. e Vinicius R.

Referências:

MLA style: “Full text of Alfred Nobel’s Will”. Nobelprize.org. 20 Jul 2011 http://nobelprize.org/alfred_nobel/will/will-full.html

http://nobelprize.org/nobel_prizes/lists/all/

Física no Cotidiano 1 – Calorimetria

Inauguro com este post a série que chamarei de “Física no cotidiano”. Nela, utilizarei conceitos físicos para explicar fenômenos que presenciamos no cotidiano, aos quais normalmente não damos muita atenção.

Nesse primeiro post, tratarei algo que frequentemente vejo pessoas discutindo: ao deixar algo cozinhando, é melhor manter a chama do gás alta ou baixa?

Explicarei isso tomando alguns conceitos da Calorimetria.

Ao fornecermos energia a um corpo, ocasionamos o aumento da sua energia interna. Esse aumento pode causar dois efeitos no corpo:

  1. Pode aumentar sua temperatura
  2. Pode mudar seu estado físico (sólido, líquido, gasoso)

Para explicar isso utilizarei o gráfico abaixo, que mostra a variação da temperatura da água em função do tempo:

No intervalo A, vemos que a água sólida (gelo) variou sua temperatura de -20°C para 0°C. Nesse intervalo, a energia absorvida foi utilizada unicamente para o aumento da temperatura. O mesmo ocorre com a água líquida em C e com o vapor d’água em E.

No intervalo B, a água atingiu seu ponto de fusão. O corpo continua absorvendo energia, porém, como o gelo está fundindo, sua temperatura permanece a mesma até que toda a água se torne líquida. Ou seja, a energia absorvida foi utilizada unicamente para a mudança de estado físico. O mesmo ocorre durante a vaporização, em D.

Agora aplicarei isso ao cozimento de alimentos com a água. Usarei como exemplo o cozimento de uma massa.

Para colocar a massa na panela, devemos esperar até que água esteja fervendo, certo?

Nesse caso, precisa-se elevar a temperatura da água até que ela atinja 100°C. Como nessa etapa toda energia absorvida é utilizada para o aumento da temperatura, o mais prático é deixarmos a chama do gás alta. Assim, será fornecida mais energia por intervalo de tempo, fazendo com que água atinja os desejados 100°C em menos tempo do que com a chama baixa.

Depois que água atingiu os 100°C e a massa está cozinhando, sabemos que toda a energia absorvida a partir desse momento será utilizada para a vaporização da água. A temperatura da água líquida já atingiu seu máximo e não irá mais aumentar. Portanto, o ideal é deixarmos a chama baixa, para que menos gás seja gasto. Deixar a chama alta irá fazer com que a água líquida se transforme em vapor mais rápido do que com a chama baixa. Consequentemente, o nível de água na panela irá abaixar mais rápido, e talvez seja necessária a adição de mais água para manter o nível necessário ao cozimento.

Até o próximo post.

Giulia R.

Os pitagóricos e os números irracionais

Existe uma lenda a respeito da sociedade pitagórica que torna muito curiosa a história dos números irracionais. Como toda estória (ou historia) bem contada, irei começar exatamente do começo, para a compreensão de todos.

Através do teorema demonstrado por Pitágoras, é possível calcular a diagonal de quadrados. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos, dessa forma podemos afirmar que a diagonal é a hipotenusa, e os catetos são os lados do quadrado. Assim, todo quadrado, isto é, um retângulo de lados iguais, é formado por dois triângulos retângulos. Apesar deste conhecimento, os pitagóricos enfrentaram um pequeno problema: eles não conseguiram calcular a diagonal de um quadrado de lado unitário. Atualmente, pode parecer um cálculo muito simples, mas nem sempre foi assim. O quadrado mostrado abaixo possui lado “1”, e a medida da sua diagonal “h” (a hipotenusa dos dois triângulos), de acordo com o teorema, é calculada da seguinte forma:

Talvez estejam se perguntando “Qual a dificuldade nisso?”. O problema é que a raiz de dois, como mostrado acima, é um número irracional, ou seja, ela não pode ser representada pelos números inteiros ou fracionários: os únicos que os pitagóricos conheciam. A alternativa usada por Pitágoras foi, então, proclamar que alguns comprimentos simplesmente não poderiam ser expressos através de números, atitude um pouco controversa para um filósofo que dizia que o número é o principio de tudo.

Hipaso de Metaponto

Tal paradoxo foi mantido rigorosamente em sigilo dentro da sociedade pitagórica, exceto por um dos seus seguidores. Segundo a lenda, Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras, misteriosamente, ou convenientemente, morreu afogado após ter falado um pouco demais. Apesar disso, a descoberta dos números irracionais, que ameaçava a doutrina de que tudo podia ser demonstrado através de números, é comumente atribuída a Hipaso. Então, talvez ele quisesse apenas mostrar ao mundo a sua descoberta, mas de qualquer forma acredito que as circunstâncias de sua morte sejam um ótimo assunto para se pensar quando queremos entender o quanto os pitagóricos eram apaixonados pela matemática.

Até o próximo post,

André L.

A história do descobrimento do Brasil

Alguns mitos e polêmicas são levantados quando o assunto tratado é o descobrimento do Brasil. Foi por acaso ou intencional? Aconteceu realmente em 1500? No Ensino Fundamental, foi-me ensinada uma versão que por muito tempo tive como fiel à realidade. Já no Ensino Médio, apresentaram-me uma versão muito diferente daquela. Hoje tenho informações suficientes para analisar a questão sem os perigosos “achismos”. Compartilho algumas delas a seguir.

Para tratar do início da história do Brasil, é preciso entender um pouco do contexto histórico da época. O descobrimento do Brasil se deu num período de transição que ocorria na Europa. Era a transição do modo de produção feudal para o modo de produção capitalista.

Representação de um feudo

O Feudalismo esteve em vigência na Europa do século IX até o século XI, quando se inicia a transição para o Capitalismo. O continente estava dividido em várias porções de terra, algumas enormes, outras um pouco menores; eram resquícios do Império Romano. Essas porções de terra eram os “feudos”, cujos proprietários eram os “senhores feudais”. Naquela época, o comércio estava estagnado, e as relações sociais aconteciam quase que exclusivamente dentro de cada feudo. Num feudo, habitava o senhor feudal com a sua família, juntamente com seus “servos”. Esses servos eram camponeses a quem o senhor feudal disponibilizava parte de sua terra, em troca de proteção e fidelidade. Os servos cultivavam a terra e forneciam ao feudo todos os produtos necessários para sua subsistência, o que caracterizava a independência de cada feudo. O mais próximo de “comércio” que existia na época eram trocas de mercadorias entre feudos próximos.

A partir do século XI, essas relações começaram a mudar. O comércio começou a se desenvolver, causando o crescimento urbano europeu. O novo modo de produção que se desenvolvia visava ao acúmulo de riquezas. A principal e mais lucrativa atividade dos países europeus era ir até as Índias, comprar as famosas especiarias (cravo, canela, gengibre, noz moscada, pimenta, etc.), e revendê-las a preços absurdos na Europa, obtendo cerca de 300% de lucro.

O desenvolvimento comercial que estava acontecendo incentivou a expansão marítima, pela busca de novos mercados e novas rotas comerciais. Iniciava-se a época das grandes navegações, da qual Portugal foi o pioneiro.

O país português estava em busca de uma nova rota para as Índias, que substituísse o caminho que passava pelo Mediterrâneo, evitando as altas taxas de impostos ali cobradas. Portugal já possuía colônias na África, e decidiu investir na tentativa de contorná-la, passando pelo Cabo das Tormentas (extremo sul do continente africano), para chegar até o destino desejado. A rota pretendida está ilustrada na imagem abaixo:

Dentro desse contexto, vale mencionar Bartolomeu Dias. Esse foi o primeiro homem a chegar até o Cabo das Tormentas, em 1488. Por conta do acontecido, o Cabo das Tormentas foi rebatizado pelo rei português de “Cabo da Boa Esperança”, que representava a renovada esperança de se chegar às Índias por uma nova rota. Porém, a embarcação parou por ali e retornou a Portugal.

Em 1492, os portugueses foram surpreendidos pela Espanha, que também estava expandido suas navegações. Cristóvão Colombo, navegador italiano que trabalhava para a coroa espanhola, teve a seguinte idéia: sendo a terra realmente redonda, como se supunha (naquela época, ainda não se tinha certeza disso), ao se navegar em linha reta, chegar-se-ia às Índias. Na tentativa de colocar sua idéia em prática, Colombo deparou-se com um enorme continente à sua frente, a atual América – até então desconhecida pelos europeus – desembarcando no norte do continente. No entanto, ele morreu acreditando que havia realmente chegado nas Índias. Portugal, desconfiando de que Colombo havia chegado a um novo continente, mandou para o local o navegante Américo Vespúcio, para que descrevesse a situação naquela terra distante.

As observações de Vespúcio sugeriram que aquele lugar era apenas uma parte de um continente enorme, e que deveria haver mais terras ao sul. Dessa forma, Portugal exige um acordo com a Espanha para dividir as novas terras, na tentativa de evitar sua divisão com outros países europeus.

O papa da época, Alexandre VI, foi quem fez o papel de intermediador desse acordo. Sua proposta foi a chamada “Bula Inter Coetera” – uma linha imaginária que definia como sendo espanholas as terras a seu oeste, e portuguesas as terras a seu leste.

A Bula Inter Coetera

Essa linha imaginária passava pelo oceano Atlântico, nas proximidades com a África (a figura ao lado mostra sua localização). Portugal não aceitou essa proposta. Entretanto, como a maioria pensa, o motivo da recusa não foi a ausência de terras no lado português do acordo. Como eu disse antes, a principal e mais lucrativa atividade da época era a comercialização das especiarias das Índias. A posse ou a colonização de novas terras teria uma lucratividade muito baixa em comparação ao comércio das especiarias. Em detrimento da Bula Inter Coetera, Portugal propôs o Tratado de Tordesilhas (mostrado abaixo), uma linha imaginária que ficava a oeste da Bula Inter Coetera. O [verdadeiro] objetivo dos portugueses ao propor o novo acordo era manter a Espanha afastada da rota que levava às Índias. Pela Bula Inter Coetera, os espanhóis controlariam uma parte do oceano muito próxima à África; já pelo Tratado de Tordesilhas, Portugal poderia controlar essa área, impedindo que a Espanha chegasse às Índias por aquele caminho. Foi firmado, então, o Tratado de Tordesilhas, em 1494.

Em 1498, acontece outro fato célebre e inédito para a história portuguesa: Vasco da Gama contorna o continente africano e consegue chegar às Índias.

Já em 1500, Pedro Álvares Cabral também foi mandado às Índias pelo rei de Portugal, Dom Manuel I. Com embarcações muito bem organizadas – 13 embarcações, num total de aproximadamente 1200 homens –, e a mando do rei português, sua tropa, antes de contornar à África, deveria desviar-se da rota para tomar posse das novas terras descobertas no oeste. Assim, chegaram ao Brasil Pedro Álvares Cabral e sua tropa, marcando o descobrimento oficial de nosso pai, em 22 de abril de 1500.

Ao contrário do que era ensinado na maioria das escolas há alguns anos, a descoberta do Brasil foi intencional e planejada, apenas uma formalidade para garantir a possessão de novas terras. Outra confirmação do fato é que Pedro Álvares Cabral, após descobrir e permanecer alguns dias no Brasil, retomou sua viagem às Índias, chegando lá alguns meses depois.

Giulia R.

Curiosidade sobre o assunto:

  • Pintores europeus, ao retratarem a chegada dos portugueses ao Brasil, retratavam coqueiros. No entanto, naquela época não existiam coqueiros no Brasil. A espécie é nativa da Índia, e foi trazida de lá por volta de 1550.
  • O Tratado de Tordesilhas leva esse nome por ter sido assinado na cidade de Tordesilhas, na Espanha.

Conjuntos Numéricos – Parte I

Olá. Nesse post, irei falar sobre os principais conjuntos numéricos na matemática.

Números Naturais

Começarei pelo conjunto dos números naturais, representados por \mathbb{N}

\mathbb{N}= \left \{ 0, 1, 2, 3, ... \right \}

O conjunto dos números naturais é o conjunto que contém o 0, seu sucessor (1), o sucessor de seu sucessor (2), e assim por diante.
São os primeiros números que nós aprendemos, ainda quando crianças. Usamos-os para contar.

Existe um subconjunto importante de \mathbb{N}, que é o \mathbb{N}^*
\mathbb{N}^*= \left \{ 1, 2, 3, ... \right \}

\mathbb{N}^* é definido como \mathbb{N}^*=\mathbb{N}-\left \{ 0 \right \}, ou seja, simplesmente ele é o conjunto dos números naturais sem o 0

Números Inteiros

Continuando, podemos expandir o conjunto dos números naturais com os seus opostos (termo que já irei explicar), formando os números inteiros, representados por \mathbb{Z}.
\mathbb{Z}=\left \{ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \right \}

Visivelmente, percebe-se que esse é o conjunto dos números inteiros positivos, negativos e do 0.
Eu disse algo sobre ‘opostos’. O que é o oposto de um número?
O oposto de um número, digamos, a, é o número que somado com a resulta em 0. O oposto de a é representado por (-a).
Então, temos que:
a + (-a) = 0
Exemplificando:
O oposto de 3, é (-3), e quando somados, resultam em 0: 3 + (-3) = 0
O oposto de 10, é (-10), e quando somados, resultam em 0: 10 + (-10) = 0
E assim por diante.

Assim como nos números naturais, existe o conjunto \mathbb{Z}^*, definido como $ é definido como \mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}-\left \{ 0 \right \}, ou seja, é o conjunto dos números inteiros, exluindo-se o zero.

O próximo conjunto é o conjunto dos números racionais.

Números Racionais

\mathbb{Q}=\left \{\frac{a}{b}: a\in \mathbb{Z} \text{ e } b \in \mathbb{Z}^*\right \}

Interpretando e ‘traduzindo’ isso, obteremos algo assim:

“O conjunto dos números racionais é todo número que pode ser escrito na forma a/b, com a inteiro e b inteiro diferente de 0. Ou seja: qualquer número que possa ser escrito como frações de números inteiros.

  • 2/4 é racional pois é uma fração de números inteiros.
  • 3/5 é racional pois é uma fração de números inteiros.
  • 0,2/0,5 é racional, pois pode ser escrito como uma fração de números inteiros (2/5).
  • Dízimas periódicas, como 0,222… são números racionais pois podem ser escritas como frações de números inteiros (2/9)

A palavra “racionais” vem de “razão”, que na matemática tem sentido de “divisão”.

Aparentemente, todos os números imagináveis são racionais, certo? Errado! Pode parecer difícil de acreditar, mas há números que não podem ser escritos nessa forma. Aí que entra o conjunto dos números irracionais, expressos por \mathbb{I}.

Números Irracionais e Reais

O que é o conjunto dos números irracionais? O conjunto dos números irracionais é o conjunto dos números reais que não são racionais.

-Ei, espera, como assim? Você está definindo números irracionais usando números reais sem nem dizer o que são números reais?

Mais ou menos. De fato, o “correto” é definir o que é um número real primeiro, mas isso não é lá muito didático.

Exemplos de números irracionais são raízes não exatas, como:

  • \sqrt{2} (raiz quadrada positiva de dois, ou seja, o número positivo que elevado ao quadrdo resulta em 2),
  • -\sqrt{3} (raiz quadrada negativa de três, ou seja, o número negativo que elevado ao quadrdo resulta em 3),
  • \sqrt[3]{6} (raiz cúbica de seis, ou seja, o número que elevado ao cubo resulta em 6),
  • \pi (pi, que é a razao entre o comprimento da circunferência e do diâmetro de uma circunferência qualquer),
  • e (número de Euler)

etc. Nenhum desses números podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0, portanto nenhum deles é racional. Mas eles são números reais.

…e o que são números reais?

O conjunto dos números reais, representado por \mathbb{R} é um conjunto bem ordenado. Dentre as suas propriedades, há uma que diz que se você pegar quaisquer dois deles, distintos, por exemplo, a e b, então com certeza…

ou a é maior que b, ou b é maior que a.

Um deles deve necessáriamente ser maior. Algo que satisfaça essa condição é um número real.

Todo número racional tem essas propriedades dos números reais. Será que há outro tipo de número que também tem? Sim! Se você pegar \sqrt{2} , por exemplo, e tentar compara-lo com qualquer outro número real, de fato, você perceberá que ou \sqrt{2} é maior, ou \sqrt{2} é menor. Isso faz de \sqrt{2} um número real.

Se você colocasse todos os números reais em papeizinhos dentro de um balde (o que na verdade é impossível, já que eles são infinitos) e sorteasse dois ao acaso, você poderia afirmar com certeza que um é maior que o outro.

Agora podemos definir os números irracionais!

\mathbb{I}=\mathbb{R} - \mathbb{Q}

Ou seja, o conjunto dos números irracionais é o conjunto dos números reais, retirando-se os números racionais.

Uma propriedade interessante dos números reais é que eles podem ser colocados em uma reta. No próximo post dessa série, abordarei isso, e introduzirei também os números complexos.

Abraços e até a próxima.

Vinicius R.

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