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Por que raiz de dois não é racional?

Como André disse no post Os pitagóricos e os números irracionais, Hipaso foi morto por revelar que $\sqrt{2}$ não é um número racional. Isso é um motivo estúpido para nossos ouvidos do século XXI, mas os motivos de seu assassinato foram religiosos. Os pitagóricos louvavam Pitágoras como “Filho de Apolo”, e a revelação de que nem todo número é racional foi considerada como um “atentado contra a fé”.

Deixando as crenças de lado, afinal, como podemos saber que $\sqrt{2}$ não é racional?

Um número racional, como já expliquei em Conjuntos Numéricos – Parte I, é um número que pode ser escrito na forma $\frac{a}{b}$ , sendo $a$ um número inteiro e $b$ um número inteiro diferente de zero.

Nesse post, irei provar que $\sqrt{2}$ , ou seja, o número que multiplicado por si mesmo resulta em 2, não é um número racional. Mas antes temos que provar outra coisa:

“O quadrado de um número ímpar sempre é um número ímpar”.

Lembrando que: Um número par é um inteiro que é divisível por 2, ou seja, se um número, digamos, $n$ , for dividido por 2, ele resultará em outro número inteiro, digamos, $m$ . Assim:

$\frac{n}{2}=m$

Também podemos escrever assim:

$n=2m$

Já um número ímpar é um número inteiro que não é divisível por 2, ou seja, que tem resto diferente de 0. Como estamos dividindo por 2, o único resto que pode dar é 1. ex: 5/2 dá 2, e resto 1.

Um número ímpar pode ser escrito na forma $n=2m+1$

Agora, vamos provar o que falei.

-Se n for ímpar, seu quadrado é ímpar.

$n=2m+1$ , sendo m inteiro, pois n é ímpar.

$\left(2m+1\right)^2=4m^2+2m+1$

Podemos fatorar parcialmente, deixando assim:

$\left(2m+1\right)^2=2\left(2m^2+m\right)+1$

$\left(2m^2+m\right)$ é um número inteiro, e irei chamá-lo, digamos… de z!

$\left(2m+1\right)^2=2z+1$

2m+1=n, então

$n^2=2z+1$

2z+1 tem a forma de um número ímpar, então n² é ímpar. Portanto, o quadrado de um número ímpar sempre é ímpar!

Agora vamos provar o dito cujo.

Vamos supor que $\sqrt{2}$ seja mesmo racional. Então, $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$

Suponhamos que essa fração esteja simplificada ao máximo, de modo que não seja possível simplificar mais.

Então, $a$ e $b$ não podem ser pares ao mesmo tempo, pois se ambos forem pares, daria pra simplificar por dois.

Seja então:

$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$

Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos:

$2=\frac{a^2}{b^2}$

E então:

$2b^2=a^2$

Disso, tiramos que $a^2$ é par. Daí, tiramos também que a é par. Pois se a fosse ímpar, $a^2$ seria impar. Então, a é par.

Então b não pode ser par.

Como $a$ é par, pode ser escrito na forma $a=2n$ , sendo $n$ um inteiro.

Substituirei então:

$2b^2=\left(2n\right)^2$

$2b^2=4n^2$

Didivindo os dois lados por 2:

$b^2=2n^2$

Agora, pelos mesmos motivos anteriores, tiramos que b também é par.

Então:

b é par
a é par
a e b não podem ser, ao mesmo tempo, pares

Uma contradição! Portanto, temos que assumir que a nossa hipótese é errada:

$\sqrt{2}$ não pode ser escrito como a razão entre dois números inteiros. $\sqrt{2}$ não é racional!

Só peço que não informem Pitágoras que eu estou revelando isso… não quero acabar como Hipaso, ahaha!

Para quem se interessar, outras abordagens e mais sobre esse assunto podem ser encontradas no Blog Manthano, nosso parceiro!

Abraços, e espero que tenham gostado.

Vinicius R.

Publicado em Matemática

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Tags: números racionais e irracionais, raíz de dois

Os pitagóricos e os números irracionais

18 jul

Publicado por André L.

Existe uma lenda a respeito da sociedade pitagórica que torna muito curiosa a história dos números irracionais. Como toda estória (ou historia) bem contada, irei começar exatamente do começo, para a compreensão de todos.

Através do teorema demonstrado por Pitágoras, é possível calcular a diagonal de quadrados. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos, dessa forma podemos afirmar que a diagonal é a hipotenusa, e os catetos são os lados do quadrado. Assim, todo quadrado, isto é, um retângulo de lados iguais, é formado por dois triângulos retângulos. Apesar deste conhecimento, os pitagóricos enfrentaram um pequeno problema: eles não conseguiram calcular a diagonal de um quadrado de lado unitário. Atualmente, pode parecer um cálculo muito simples, mas nem sempre foi assim. O quadrado mostrado abaixo possui lado “1”, e a medida da sua diagonal “h” (a hipotenusa dos dois triângulos), de acordo com o teorema, é calculada da seguinte forma:

Talvez estejam se perguntando “Qual a dificuldade nisso?”. O problema é que a raiz de dois, como mostrado acima, é um número irracional, ou seja, ela não pode ser representada pelos números inteiros ou fracionários: os únicos que os pitagóricos conheciam. A alternativa usada por Pitágoras foi, então, proclamar que alguns comprimentos simplesmente não poderiam ser expressos através de números, atitude um pouco controversa para um filósofo que dizia que o número é o principio de tudo.

Hipaso de Metaponto

Tal paradoxo foi mantido rigorosamente em sigilo dentro da sociedade pitagórica, exceto por um dos seus seguidores. Segundo a lenda, Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras, misteriosamente, ou convenientemente, morreu afogado após ter falado um pouco demais. Apesar disso, a descoberta dos números irracionais, que ameaçava a doutrina de que tudo podia ser demonstrado através de números, é comumente atribuída a Hipaso. Então, talvez ele quisesse apenas mostrar ao mundo a sua descoberta, mas de qualquer forma acredito que as circunstâncias de sua morte sejam um ótimo assunto para se pensar quando queremos entender o quanto os pitagóricos eram apaixonados pela matemática.

Até o próximo post,

André L.

Publicado em História da Ciência, Matemática