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Por que raiz de dois não é racional?

Como André disse no post Os pitagóricos e os números irracionais, Hipaso foi morto por revelar que \sqrt{2} não é um número racional. Isso é um motivo estúpido para nossos ouvidos do século XXI, mas os motivos de seu assassinato foram religiosos. Os pitagóricos louvavam Pitágoras como “Filho de Apolo”, e a revelação de que nem todo número é racional foi considerada como um “atentado contra a fé”.

Deixando as crenças de lado, afinal, como podemos saber que \sqrt{2} não é racional?

Um número racional, como já expliquei em Conjuntos Numéricos – Parte I, é um número que pode ser escrito na forma \frac{a}{b}, sendo a um número inteiro e b um número inteiro diferente de zero.

Nesse post, irei provar que \sqrt{2}, ou seja, o número que multiplicado por si mesmo resulta em 2, não é um número racional. Mas antes temos que provar outra coisa:

“O quadrado de um número ímpar sempre é um número ímpar”.

Lembrando que: Um número par é um inteiro que é divisível por 2, ou seja, se um número, digamos, n, for dividido por 2, ele resultará em outro número inteiro, digamos, m. Assim:

\frac{n}{2}=m

Também podemos escrever assim:

n=2m

Já um número ímpar é um número inteiro que não é divisível por 2, ou seja, que tem resto diferente de 0. Como estamos dividindo por 2, o único resto que pode dar é 1. ex: 5/2 dá 2, e resto 1.

Um número ímpar pode ser escrito na forma n=2m+1

Agora, vamos provar o que falei.

-Se n for ímpar, seu quadrado é ímpar.

n=2m+1, sendo m inteiro, pois n é ímpar.

\left(2m+1\right)^2=4m^2+2m+1

Podemos fatorar parcialmente, deixando assim:

\left(2m+1\right)^2=2\left(2m^2+m\right)+1

\left(2m^2+m\right) é um número inteiro, e irei chamá-lo, digamos… de z!

\left(2m+1\right)^2=2z+1

2m+1=n, então

n^2=2z+1

2z+1 tem a forma de um número ímpar, então n² é ímpar. Portanto, o quadrado de um número ímpar sempre é ímpar!

Agora vamos provar o dito cujo.

Vamos supor que \sqrt{2} seja mesmo racional. Então, \sqrt{2}=\frac{a}{b}

Suponhamos que essa fração esteja simplificada ao máximo, de modo que não seja possível simplificar mais.

Então, a e b não podem ser pares ao mesmo tempo, pois se ambos forem pares, daria pra simplificar por dois.

Seja então:

\sqrt{2}=\frac{a}{b}

Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos:

2=\frac{a^2}{b^2}

E então:

2b^2=a^2

Disso, tiramos que a^2 é par. Daí, tiramos também que a é par. Pois se a fosse ímpar, a^2 seria impar. Então, a é par.

Então b não pode ser par.

Como a é par, pode ser escrito na forma a=2n, sendo n um inteiro.

Substituirei então:

2b^2=\left(2n\right)^2

2b^2=4n^2

Didivindo os dois lados por 2:

b^2=2n^2

Agora, pelos mesmos motivos anteriores, tiramos que b também é par.

Então:

  • b é par
  • a é par
  • a e b não podem ser, ao mesmo tempo, pares

Uma contradição! Portanto, temos que assumir que a nossa hipótese é errada:

\sqrt{2} não pode ser escrito como a razão entre dois números inteiros. \sqrt{2} não é racional!

Só peço que não informem Pitágoras que eu estou revelando isso… não quero acabar como Hipaso, ahaha!

Para quem se interessar, outras abordagens e mais sobre esse assunto podem ser encontradas no Blog Manthano, nosso parceiro!

Abraços, e espero que tenham gostado.

Vinicius R.

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Os pitagóricos e os números irracionais

Existe uma lenda a respeito da sociedade pitagórica que torna muito curiosa a história dos números irracionais. Como toda estória (ou historia) bem contada, irei começar exatamente do começo, para a compreensão de todos.

Através do teorema demonstrado por Pitágoras, é possível calcular a diagonal de quadrados. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos, dessa forma podemos afirmar que a diagonal é a hipotenusa, e os catetos são os lados do quadrado. Assim, todo quadrado, isto é, um retângulo de lados iguais, é formado por dois triângulos retângulos. Apesar deste conhecimento, os pitagóricos enfrentaram um pequeno problema: eles não conseguiram calcular a diagonal de um quadrado de lado unitário. Atualmente, pode parecer um cálculo muito simples, mas nem sempre foi assim. O quadrado mostrado abaixo possui lado “1”, e a medida da sua diagonal “h” (a hipotenusa dos dois triângulos), de acordo com o teorema, é calculada da seguinte forma:

Talvez estejam se perguntando “Qual a dificuldade nisso?”. O problema é que a raiz de dois, como mostrado acima, é um número irracional, ou seja, ela não pode ser representada pelos números inteiros ou fracionários: os únicos que os pitagóricos conheciam. A alternativa usada por Pitágoras foi, então, proclamar que alguns comprimentos simplesmente não poderiam ser expressos através de números, atitude um pouco controversa para um filósofo que dizia que o número é o principio de tudo.

Hipaso de Metaponto

Tal paradoxo foi mantido rigorosamente em sigilo dentro da sociedade pitagórica, exceto por um dos seus seguidores. Segundo a lenda, Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras, misteriosamente, ou convenientemente, morreu afogado após ter falado um pouco demais. Apesar disso, a descoberta dos números irracionais, que ameaçava a doutrina de que tudo podia ser demonstrado através de números, é comumente atribuída a Hipaso. Então, talvez ele quisesse apenas mostrar ao mundo a sua descoberta, mas de qualquer forma acredito que as circunstâncias de sua morte sejam um ótimo assunto para se pensar quando queremos entender o quanto os pitagóricos eram apaixonados pela matemática.

Até o próximo post,

André L.