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Os pitagóricos e os números irracionais

Existe uma lenda a respeito da sociedade pitagórica que torna muito curiosa a história dos números irracionais. Como toda estória (ou historia) bem contada, irei começar exatamente do começo, para a compreensão de todos.

Através do teorema demonstrado por Pitágoras, é possível calcular a diagonal de quadrados. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos, dessa forma podemos afirmar que a diagonal é a hipotenusa, e os catetos são os lados do quadrado. Assim, todo quadrado, isto é, um retângulo de lados iguais, é formado por dois triângulos retângulos. Apesar deste conhecimento, os pitagóricos enfrentaram um pequeno problema: eles não conseguiram calcular a diagonal de um quadrado de lado unitário. Atualmente, pode parecer um cálculo muito simples, mas nem sempre foi assim. O quadrado mostrado abaixo possui lado “1”, e a medida da sua diagonal “h” (a hipotenusa dos dois triângulos), de acordo com o teorema, é calculada da seguinte forma:

Talvez estejam se perguntando “Qual a dificuldade nisso?”. O problema é que a raiz de dois, como mostrado acima, é um número irracional, ou seja, ela não pode ser representada pelos números inteiros ou fracionários: os únicos que os pitagóricos conheciam. A alternativa usada por Pitágoras foi, então, proclamar que alguns comprimentos simplesmente não poderiam ser expressos através de números, atitude um pouco controversa para um filósofo que dizia que o número é o principio de tudo.

Hipaso de Metaponto

Tal paradoxo foi mantido rigorosamente em sigilo dentro da sociedade pitagórica, exceto por um dos seus seguidores. Segundo a lenda, Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras, misteriosamente, ou convenientemente, morreu afogado após ter falado um pouco demais. Apesar disso, a descoberta dos números irracionais, que ameaçava a doutrina de que tudo podia ser demonstrado através de números, é comumente atribuída a Hipaso. Então, talvez ele quisesse apenas mostrar ao mundo a sua descoberta, mas de qualquer forma acredito que as circunstâncias de sua morte sejam um ótimo assunto para se pensar quando queremos entender o quanto os pitagóricos eram apaixonados pela matemática.

Até o próximo post,

André L.

Provas do Teorema de Pitágoras

Milhões de alunos do Ensino Fundamental, Médio e Superior do Brasil e do mundo têm a seguinte formulazinha, fácil de ser decorada, na cabeça:

a²=b²+c²

O famoso “Teorema de Pitágoras” não é problema para muita gente. Vamos relembrar o que ele quer dizer.

“Em um triângulo retângulo, o quadrado da Hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.

Primeiro, temos que saber o que é Triângulo Retângulo, o que é Hipotenusa e o que é Cateto, né?

Triângulo Retângulo: É um triângulo que possui um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90 graus. Por isso a palavra “Retângulo”

Hipotenusa: No triângulo retângulo, é o lado oposto ao ângulo reto. Ou seja, aquele que não o “toca”. Na figura, o lado ‘a’ é a hipotenusa.

Catetos: São os dois outros lados do triângulo. No caso, ‘b’ e ‘c’.

Busto de Pitágoras

Provavelmente, não foi Pitágoras quem descobriu o teorema que leva seu nome. A história mostra que os egípcios já sabiam disso há muito tempo. No Egito, existia uma profissão que se chamava “harpedonopta”, ou, literalmente, “esticador de corda”. Pegavam, por exemplo, cordas de 30m, 40m e 50m, unidas com nós, e esticavam-nas para formar um triângulo retângulo que servia como um esquadro gigante para construir coisas.

Mas, afinal, porque é que é assim? Como sabem que a²=b²+c²? Testaram isso em todos os triângulos retângulos do universo? Embora a grande maioria dos alunos memorize o Teorema de Pitágoras, poucos sabem responder a essas perguntas.

Na matemática, para provarmos que algo funciona, temos que provar que tal coisa funciona sempre. Há muitas provas do teorema de Pitágoras. Nessa postagem, mostrarei ao leitor uma das mais simples, de forma que ele já poderá fechar essa página e ensiná-la para todo mundo.

Você só vai precisar saber que a área de um quadrado é a medida do seu lado elevada ao quadrado. Por exemplo, se o lado de um quadrado mede 4cm, sua área mede 4²cm², ou 16cm². Generalizando, se um quadrado tem lado medindo ‘a’, sua área mede ‘a²’.

Vamos desenhar um quadrado com o lado medindo b+c. Há várias formas de desenhar isso. Desenharei de duas, que são as que nos interessam.

Lembrando que o segmento de reta verde mede ‘c’ e que o segmento de reta azul mede ‘b’. Juntos, eles medem ‘b+c’, ou ‘c+b’. b+c é igual a c+b, então, tanto faz.

Como podemos ver, os quadrados têm a mesma área. São “iguais” (o termo correto seria “congruentes”).

Certo. Vamos subdividir esses quadrados em algumas partes:

Agora, como podemos ver…

Na figura 1, temos um quadrado de lados verdes, um quadrado de lados azuis e quatro triângulos de lados verde-azul-vermelho, que pintei de amarelo.

Na figura 2, temos um quadrado de lados vermelhos e quatro triângulos de lados verde-azul-vermelho, que pintei de amarelo.

Sabemos que as áreas das duas figuras são iguais. Representaremos isso assim:

Área da Figura 1 = Área da Figura 2

Agora, abreviarei tudo do seguinte modo:

Como eu disse, a área de um quadrado é o seu lado ao quadrado.

O quadrado verde tem lado ‘c’, sua área se dá por c².

O quadrado azul tem lado ‘b’, sua área se dá por b².

O quadrado vermelho tem lado ‘a’, sua área se dá por a².

Substituindo:

b²+c²=a²

Note agora que ‘a’, ‘b’ e ‘c’ são os lados do triângulo retângulo que usamos pra começar tudo. ‘a’ é a hipotenusa, e ‘b’ e ‘c’ são os catetos. O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos! Está demonstrado.

Essa não foi uma prova matemática formal. Uma prova matemática formal exige um rigor extremo. Eu teria que ter mostrado as congruências entre os triângulos e entre os segmentos de reta através do caso lado-ângulo-lado e paralelismo. Porém, isso aumentaria em muito o tamanho do post, e a grande parte do público “não-matemático” acharia chato e extremamente cansativo. Mas agora, com essa postagem, você já sabe que o Teorema de Pitágoras não ‘caiu do céu’, né? É muito fácil desenhar esses dois quadrados no papel e mostrar para seus amigos. Tente!

Questione, duvide, faça perguntas. Não existem “perguntas idiotas”, nem proibidas. O conhecimento é livre para todos, e é maravilhoso quando compreendemos as coisas e o mundo ao nosso redor.

Abraço, e até a próxima.

Vinicius R.