Provas do Teorema de Pitágoras

Milhões de alunos do Ensino Fundamental, Médio e Superior do Brasil e do mundo têm a seguinte formulazinha, fácil de ser decorada, na cabeça:

a²=b²+c²

O famoso “Teorema de Pitágoras” não é problema para muita gente. Vamos relembrar o que ele quer dizer.

“Em um triângulo retângulo, o quadrado da Hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.

Primeiro, temos que saber o que é Triângulo Retângulo, o que é Hipotenusa e o que é Cateto, né?

Triângulo Retângulo: É um triângulo que possui um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90 graus. Por isso a palavra “Retângulo”

Hipotenusa: No triângulo retângulo, é o lado oposto ao ângulo reto. Ou seja, aquele que não o “toca”. Na figura, o lado ‘a’ é a hipotenusa.

Catetos: São os dois outros lados do triângulo. No caso, ‘b’ e ‘c’.

Busto de Pitágoras

Provavelmente, não foi Pitágoras quem descobriu o teorema que leva seu nome. A história mostra que os egípcios já sabiam disso há muito tempo. No Egito, existia uma profissão que se chamava “harpedonopta”, ou, literalmente, “esticador de corda”. Pegavam, por exemplo, cordas de 30m, 40m e 50m, unidas com nós, e esticavam-nas para formar um triângulo retângulo que servia como um esquadro gigante para construir coisas.

Mas, afinal, porque é que é assim? Como sabem que a²=b²+c²? Testaram isso em todos os triângulos retângulos do universo? Embora a grande maioria dos alunos memorize o Teorema de Pitágoras, poucos sabem responder a essas perguntas.

Na matemática, para provarmos que algo funciona, temos que provar que tal coisa funciona sempre. Há muitas provas do teorema de Pitágoras. Nessa postagem, mostrarei ao leitor uma das mais simples, de forma que ele já poderá fechar essa página e ensiná-la para todo mundo.

Você só vai precisar saber que a área de um quadrado é a medida do seu lado elevada ao quadrado. Por exemplo, se o lado de um quadrado mede 4cm, sua área mede 4²cm², ou 16cm². Generalizando, se um quadrado tem lado medindo ‘a’, sua área mede ‘a²’.

Vamos desenhar um quadrado com o lado medindo b+c. Há várias formas de desenhar isso. Desenharei de duas, que são as que nos interessam.

Lembrando que o segmento de reta verde mede ‘c’ e que o segmento de reta azul mede ‘b’. Juntos, eles medem ‘b+c’, ou ‘c+b’. b+c é igual a c+b, então, tanto faz.

Como podemos ver, os quadrados têm a mesma área. São “iguais” (o termo correto seria “congruentes”).

Certo. Vamos subdividir esses quadrados em algumas partes:

Agora, como podemos ver…

Na figura 1, temos um quadrado de lados verdes, um quadrado de lados azuis e quatro triângulos de lados verde-azul-vermelho, que pintei de amarelo.

Na figura 2, temos um quadrado de lados vermelhos e quatro triângulos de lados verde-azul-vermelho, que pintei de amarelo.

Sabemos que as áreas das duas figuras são iguais. Representaremos isso assim:

Área da Figura 1 = Área da Figura 2

Agora, abreviarei tudo do seguinte modo:

Como eu disse, a área de um quadrado é o seu lado ao quadrado.

O quadrado verde tem lado ‘c’, sua área se dá por c².

O quadrado azul tem lado ‘b’, sua área se dá por b².

O quadrado vermelho tem lado ‘a’, sua área se dá por a².

Substituindo:

b²+c²=a²

Note agora que ‘a’, ‘b’ e ‘c’ são os lados do triângulo retângulo que usamos pra começar tudo. ‘a’ é a hipotenusa, e ‘b’ e ‘c’ são os catetos. O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos! Está demonstrado.

Essa não foi uma prova matemática formal. Uma prova matemática formal exige um rigor extremo. Eu teria que ter mostrado as congruências entre os triângulos e entre os segmentos de reta através do caso lado-ângulo-lado e paralelismo. Porém, isso aumentaria em muito o tamanho do post, e a grande parte do público “não-matemático” acharia chato e extremamente cansativo. Mas agora, com essa postagem, você já sabe que o Teorema de Pitágoras não ‘caiu do céu’, né? É muito fácil desenhar esses dois quadrados no papel e mostrar para seus amigos. Tente!

Questione, duvide, faça perguntas. Não existem “perguntas idiotas”, nem proibidas. O conhecimento é livre para todos, e é maravilhoso quando compreendemos as coisas e o mundo ao nosso redor.

Abraço, e até a próxima.

Vinicius R.

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Publicado em 16/07/2011, em Matemática e marcado como , , , . Adicione o link aos favoritos. 3 Comentários.

  1. Olá Vinicios R., parabéns pelo Blog! Achei o título bem legal. Ótima ideia abordar vários ramos do conhecimento em um único blog.
    Esta demonstração do Teorema de Pitágoras é realmente simples e fácil de entender e foi bem explicada.
    Sucesso no seu projeto.
    Até+

    Pedro R.

    (http://manthanos.blogspot.com/)

  2. Muito legal. Prático e pedagógico.

  3. orlando reis

    Muito bom! Sou fã das demonstrações do teorema de Pitágoras, mas desconhecia esta. Descontraindo um pouco: Pitágoras soube que sua esposa Nusa o traía com 4 cadetes do exército. Certo dia voltou antes da hora e pegou-os em plena folia, a mulher e os 4 cadetes. Não teve alternativa, matou todos. Ele tinha um terreno numa colina e dividi-o em duas partes iguais. Numa metade quadrada enterrou a Nusa; a outra metade foi dividida em 4 partes quadradas e iguais, enterrando um cadete em cada uma dessas partes. Moral: O quadrado da “puta” Nusa é igual à soma dos quadrados dos cadetes.

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